Người dẫn chương trình, người biết rõ cửa nào có xe, mở một cửa khác, cửa số 3, và cho bạn thấy có một con dê. Anh ta hỏi: bạn có muốn đổi sang cửa số 2 không?

Nhiều người trả lời ngay là “không quan trọng”, vì còn hai cửa, mỗi cửa xác suất $\frac{1}{2}$. Trực giác này sai.

Lập luận đơn giản

Lúc đầu, cửa bạn chọn có xác suất $\frac{1}{3}$ chứa xe. Vậy xác suất xe nằm ở hai cửa còn lại là $\frac{2}{3}$.

Người dẫn chương trình luôn mở một cửa có dê. Anh ta không thay đổi xác suất đó, chỉ loại bỏ một lựa chọn. Toàn bộ $\frac{2}{3}$ ấy dồn về cửa còn lại. Vì vậy đổi cửa thắng với xác suất $\frac{2}{3}$, giữ cửa chỉ thắng với xác suất $\frac{1}{3}$.

Kiểm tra bằng công thức Bayes

Gọi $C$ là vị trí xe, $H$ là sự kiện người dẫn mở cửa 3. Giả sử bạn chọn cửa 1.

• Nếu xe ở cửa 1, người dẫn có hai lựa chọn (cửa 2 hoặc 3): $P(H \mid C=1) = \frac{1}{2}$.
• Nếu xe ở cửa 2, người dẫn buộc phải mở cửa 3: $P(H \mid C=2) = 1$.
• Nếu xe ở cửa 3, người dẫn không thể mở cửa 3: $P(H \mid C=3) = 0$.

Xác suất mở cửa 3 là

Theo Bayes, xác suất xe ở cửa 2 khi biết người dẫn đã mở cửa 3 là

Kết quả khớp với lập luận đơn giản.

Tự kiểm tra bằng mô phỏng

Nếu vẫn chưa tin, hãy chạy thử. Đoạn Python ngắn sau mô phỏng chương trình hàng trăm nghìn lần:

import random

def play(switch):
    car = random.randrange(3)
    pick = random.randrange(3)
    opened = next(d for d in range(3) if d != pick and d != car)
    if switch:
        pick = next(d for d in range(3) if d != pick and d != opened)
    return pick == car

n = 100_000
print("đổi cửa:", sum(play(True) for _ in range(n)) / n)   # xấp xỉ 0.667
print("giữ cửa:", sum(play(False) for _ in range(n)) / n)  # xấp xỉ 0.333

Nhưng học thuộc công thức khác với hiểu vì sao nó đúng. Bài này chứng minh bằng một hình vuông và vài tam giác, không cần đại số phức tạp.

Ý tưởng

Lấy một hình vuông có cạnh $a + b$. Trong hình vuông lớn này, đặt bốn tam giác vuông giống hệt nhau, mỗi tam giác có cạnh góc vuông là $a$ và $b$, sao cho chúng vây quanh một hình vuông nhỏ ở giữa.

Hình vuông ở giữa có cạnh là cạnh huyền $c$, nên diện tích của nó là $c^2$.

Tính diện tích theo hai cách

Cách 1: diện tích hình vuông lớn là bình phương cạnh.

Cách 2: cộng diện tích bốn tam giác và hình vuông ở giữa. Mỗi tam giác có diện tích $\frac{ab}{2}$, nên

Cả hai cách đều tính cùng một diện tích, nên

Trừ $2ab$ ở hai vế, ta được $a^2 + b^2 = c^2$. Xong.

Định lý đảo và các hệ quả

Ngược lại, nếu $a^2 + b^2 = c^2$ thì tam giác có ba cạnh $a$, $b$, $c$ là tam giác vuông. Vì vậy bộ ba $(3, 4, 5)$ dùng được để dựng góc vuông chính xác khi xây móng nhà: đo $3$ m, $4$ m, $5$ m, và góc giữa hai cạnh ngắn sẽ là góc vuông.

Lịch sử của định lý dài hơn hình vẽ này rất nhiều. Đã có hàng trăm cách chứng minh được ghi lại, từ những chứng minh bằng hình đến cách dùng đồng dạng và đại số. Chọn cách nào tùy vào điều bạn muốn thấy rõ nhất.

Câu trả lời “50 km/h” đúng, nhưng chỉ là vận tốc trung bình. Trong hai giờ đó, lúc thì xe chậm lại ở đèn đỏ, lúc thì tăng tốc trên đường cao tốc. Khi bạn nhìn lên đồng hồ tốc độ, kim chỉ một con số tại đúng thời điểm đó. Đạo hàm là công cụ để nói về con số thứ hai ấy.

Từ cát tuyến đến tiếp tuyến

Gọi $s(t)$ là quãng đường xe đi được sau $t$ giờ. Trên khoảng từ $t$ đến $t + h$, vận tốc trung bình là

Trên đồ thị, đây là độ dốc của cát tuyến: đường thẳng nối hai điểm $(t, s(t))$ và $(t+h, s(t+h))$. Khi $h$ nhỏ dần về 0, hai điểm ấy dồn lại gần nhau, cát tuyến xoay dần và tiến đến tiếp tuyến, đường chỉ chạm đồ thị đúng tại một điểm.

Vận tốc tức thời là giới hạn đó:

Đây chính là định nghĩa đạo hàm. Với một hàm $f(x)$ bất kỳ, $f’(x)$ là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm $x$.

Ví dụ: $f(x) = x^2$

Tính trực tiếp:

Khi $h \to 0$ biểu thức còn lại $2x$. Vậy $(x^2)’ = 2x$. Ở $x = 3$, đồ thị có độ dốc $6$; ở $x = 0$, độ dốc bằng $0$, đúng với hình dạng của parabol tại đỉnh.

Vì sao nó hữu ích

Đạo hàm cho ta cách tìm cực trị. Tại đỉnh của một đường cong trơn, tiếp tuyến nằm ngang, nên $f’(x) = 0$. Đó là chỗ để bắt đầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, từ bài toán tối ưu chi phí đến thiết kế hộp đựng có thể tích lớn nhất với lượng tôn cho trước.

Vài quy tắc cơ bản để tính nhanh:

• $(x^n)’ = n x^{n-1}$
• $(\sin x)’ = \cos x$
• $(e^x)’ = e^x$

Bước tiếp theo thường là học quy tắc tích, quy tắc chuỗi, và cách dùng đạo hàm để vẽ phác đồ thị. Nhưng ý tưởng cốt lõi vẫn là bài toán chiếc xe ở trên: nhìn đoạn đường ngắn lại càng ngắn, và xem điều gì xảy ra ở giới hạn.

It links five constants that come from different corners of mathematics: $e$ from growth, $i$ from imaginary numbers, $\pi$ from circles, $1$ and $0$ from counting. The reason it holds is simpler than it looks.

The key formula

Define $e^{ix}$ by its power series, the same way you would define $e^x$:

Substitute $ix$ and separate the real and imaginary parts, using $i^2 = -1$. The even powers give the series of $\cos x$, and the odd powers give the series of $\sin x$:

This is Euler’s formula. It describes a point moving around the unit circle as $x$ grows.

Plug in $x = \pi$

Move the $-1$ across the equals sign and you get $e^{i\pi} + 1 = 0$.